Question

已知雙曲線焦點(diǎn)在x軸上、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，且|

F1F2

|=

4

3

|

F2P

|，∠F₁F₂P=90°．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若過F₁且斜率為1的直線l與雙曲線的兩漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，△AOB的面積為8

3

，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，|

F1F2

|=2c，由|

F1F2

|=

4

3

|

F2P

|，∠F₁F₂P=90°及勾股定理得|

F1P

|=

5

2

c，由此能求出雙曲線的離心率．
（Ⅱ）由e2=1+

b2

a2

=4，知

b2

a2

=3，雙曲線的兩漸近線方程為y=±

3

x．設(shè)l的方程為y=x+c，l與y軸的交點(diǎn)為M（0，c）．若l與y=

3

x交于點(diǎn)A，l與y=-

3

x交于點(diǎn)B，由

y=x+c y= 3x

，得A(

c

3 -1

，

3 c

3 -1

)；由

y=x+c y=- 3 x

，得B(

-c

3 +1

，

3 c

3 +1

)，再由S△AOB=

1

2

•|OM|•|xA-xB|=

3

2

c2=8

3

，能求出雙曲線方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，|

F1F2

|=2c，
由|

F1F2

|=

4

3

|

F2P

|，∠F₁F₂P=90°及勾股定理得|

F1P

|=

5

2

c，
由雙曲線定義得 2a=|

PF1

|-|

PF2

|=

5

2

c-

3

2

c=c．
則e=

c

a

=2．
（Ⅱ）∵e2=1+

b2

a2

=4，∴

b2

a2

=3，雙曲線的兩漸近線方程為y=±

3

x．
由題意，設(shè)l的方程為y=x+c，l與y軸的交點(diǎn)為M（0，c）．
若l與y=

3

x交于點(diǎn)A，l與y=-

3

x交于點(diǎn)B，
由

y=x+c y= 3x

，得A(

c

3 -1

，

3 c

3 -1

)；由

y=x+c y=- 3 x

，得B(

-c

3 +1

，

3 c

3 +1

)，
S△AOB=

1

2

•|OM|•|xA-xB|
=

1

2

•c•|

c

3 -1

-

-c

3 +1

|
=

3

2

c2=8

3

，
∴c=4，
∴a=2，則b=2

3

，
故雙曲線方程為

x2

4

-

y2

12

=1．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的離心率和雙曲線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用雙曲線的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．