Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax³-x²+bx（a，b∈R），f'（x）為其導函數(shù)，且x=3時f（x）有極小值-9．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若g（x）=f'（x）+（6m-8）x+4，h（x）=mx，當m＞0時，對于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一個是正數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若不等式f'（x）＞k（xlnx-1）-3x-4（k為正整數(shù)）對任意正實數(shù)x恒成立，求k的最大值．（注：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的極小值，求出a，b的值，進而可求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求出g（x）的表達式，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，建立條件關系即可得到結(jié)論圍；
（Ⅲ）利用參數(shù)分離法，將不等式轉(zhuǎn)化為求參數(shù)的最值問題．

解答 解：（Ⅰ）由f'（x）=3ax²-2x+b，因為函數(shù)在x=3時有極小值-9，
所以$\left\{\begin{array}{l}{27a-6+b=0}\\{27a-9+3b=-9}\end{array}\right.$，從而解得a=$\frac{1}{3}$，b=-3
所求的f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，所以f'（x）=x²-2x-3，
由f'（x）＜0解得-1＜x＜3，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，3），
（Ⅱ）由f′（x）=x²-2x-3，故g（x）=x²-2x-3+（6m-8）x+4，
當m＞0時，若x＞0，則h（x）=mx＞0，滿足條件；
若x=0，則g（0）=1＞0，滿足條件；
若x＜0，h（x）＜0，所以g（x）＞0恒成立，
6m-8＜-$\frac{1}{x}$-x+2恒成立，
-$\frac{1}{x}$-x+2≥4，當且僅當x=-1取等號，
所以6m-8＜4，0＜m＜2，即m的取值范圍是（0，2）；
（Ⅲ）因為f′（x）=x²-2x-3，所以f′（x）＞k（xlnx-1）-3x-4等價于
x²+x+1＞k（xlnx-1），即x+$\frac{k+1}{x}$+1-klnx＞0，
記φ（x）=x+$\frac{k+1}{x}$+1-klnx，則φ′（x）=$\frac{（x+1）（x-k-1）}{{x}^{2}}$，
由φ′（x）＞0，得x＞k+1，
所以φ（x）在（0，k+1）上單調(diào)遞減，在（k+1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以φ（x）≥φ（k+1）=k+3-kln（k+1），
φ（x）＞0對任意正實數(shù)x恒成立，等價于k+3-kln（k+1）＞0，即1+$\frac{3}{k}$-ln（k+1）＞0，
記m（x）=1+$\frac{3}{x}$-ln（x+1）因為m（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
又m（4）=$\frac{7}{4}$-ln5＞0，m（5）=$\frac{8}{5}$-ln6＜0，所以k=1，2，3，4，
所以k的最大值為4．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，極值和導數(shù)的應用，考查學生的運算能力，綜合性較強，運算量較大．