Question

15．證明；當(dāng)x＞1時(shí)，有l(wèi)n²（x+1）＞lnx•ln（x+2）

Answer 1

分析 證明：（x+1）²＞x²+2x＞1，取對數(shù)，結(jié)合基本不等式，即可證明結(jié)論．

解答 證明：∵x＞1，
∴（x+1）²＞x²+2x＞1，
∴l(xiāng)n（x+1）²＞ln[x（x+2）]＞0，
∴2ln（x+1）＞lnx+ln（x+2），
∴l(xiāng)n（x+1）＞$\frac{1}{2}$[lnx+ln（x+2）]，
∵$\frac{1}{2}$[lnx+ln（x+2）]＞$\sqrt{lnx•ln（x+2）}$，
∴l(xiāng)n（x+1）＞$\sqrt{lnx•ln（x+2）}$，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，有l(wèi)n²（x+1）＞lnx•ln（x+2）．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．