Question

7．若數(shù)列{a_n}的第四項是15，（a_n+1-a_n-3）（a_n+1-4a_n）=0（n∈N^*），則滿足條件的a₁所有可能值之積為0．

Answer 1

分析 通過（a_n+1-a_n-3）（a_n+1-4a_n）=0可知a_n+1-a_n=3或a_n+1=4a_n，進(jìn)而通過a₄=15可知a₃=12或a₃=$\frac{15}{4}$，進(jìn)而分類討論即得結(jié)論．

解答 解：∵（a_n+1-a_n-3）（a_n+1-4a_n）=0（n∈N^*），
∴a_n+1-a_n=3或a_n+1=4a_n，
又∵a₄=15，
∴a₃=12或a₃=$\frac{15}{4}$，
（1）當(dāng)a₃=12時a₂=9或a₂=3，
①當(dāng)a₂=9時，a₁=6或a₁=$\frac{9}{4}$；
②當(dāng)a₂=3時，a₁=0或a₁=$\frac{3}{4}$；
（2）當(dāng)a₃=$\frac{15}{4}$時a₂=$\frac{3}{4}$或a₂=$\frac{15}{16}$，
①當(dāng)a₂=$\frac{3}{4}$時，a₁=-$\frac{9}{4}$或a₁=$\frac{3}{16}$；
②當(dāng)a₂=$\frac{15}{16}$時，a₁=-$\frac{33}{16}$或a₁=$\frac{15}{64}$；
綜上所述，a₁可能值為0，
∴滿足條件的a₁所有可能值之積為0，
故答案為：0．

點評 本題考查數(shù)列的遞推式，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．