Question

4．已知函數(shù)f（x）=|x-3|
（1）解不等式：f（x）+f（x+1）≤2；
（2）若a＜0，求證：f（ax）-f（3a）≥af（x）．

Answer 1

分析 （1）分類討論，解不等式；
（2）由題意得f（ax）-af（x）=|ax-3|-a|x-3|=|ax-3|+|3a-ax|≥|ax-3+3a-ax|=|3a-3|=f（3a），即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：由題意，得f（x）+f（x+1）=|x-3|+|x-2|，因此只須解不等式|x-3|+|x-2|≤2
當(dāng)x≤2時(shí)，原不等式等價(jià)于-2x+5≤2，即$\frac{3}{2}≤x≤2$，
當(dāng)2＜x≤3時(shí)，原不等式等價(jià)于1≤2，即2＜x≤3；
當(dāng)x＞3時(shí)，原不等式等價(jià)于2x-5≤2，即$3＜x≤\frac{7}{2}$．
綜上，原不等式的解集為$\left\{{x\left|{\frac{3}{2}≤x≤\frac{7}{2}}\right.}\right\}$．
（2）證明：由題意得f（ax）-af（x）=|ax-3|-a|x-3|=|ax-3|+|3a-ax|≥|ax-3+3a-ax|=|3a-3|=f（3a）
所以f（ax）-f（3a）≥af（x）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中檔題．