Question

9．過點(diǎn)P（1，2）的直線與圓x²+y²=1相切，且與直線ax+y-1=0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（　　）

• A． 0
• B． $-\frac{4}{3}$
• C． 0或$\frac{4}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 先用點(diǎn)斜式設(shè)出切線的方程，再根據(jù)圓心O到切線的距離等于半徑1，求得切線的斜率k的值，可得與之垂直的直線ax+y-1=0的斜率a的值．

解答 解：圓x²+y²=1的圓心為原點(diǎn)O（0，0），半徑等于1，顯然點(diǎn)P（1，2）在圓的外部．
過點(diǎn)P能做2條圓的切線，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，
根據(jù)圓心O到kx-y+2-k=0的距離等于半徑1，可得$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=$\frac{3}{4}$．
當(dāng)k=$\frac{3}{4}$時(shí)，過點(diǎn)P（1，2）的直線斜率為$\frac{3}{4}$，故與之垂直的直線ax+y-1=0的斜率為-$\frac{4}{3}$，∴a=$\frac{4}{3}$，
當(dāng)k不存在時(shí)，a=0，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，兩條直線垂直的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．