Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函數(shù)，當x=1時，f（x）取得極值-2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍；
（3）當x∈[-3，3]時，f（x）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是R上的奇函數(shù)可得f（0）=0，求出d，代入并求出導函數(shù)，又當x=1時，f（x）取得極值-2得到f（1）=-2，f′（1）=0，聯(lián)立方程組求得a、b，得到函數(shù)的解析式；
（2）利用導數(shù)求出函數(shù)的極值，根據(jù)函數(shù)圖象特征可得結論；
（3）思路是求出f（x）的最大值，m大于最大值即為恒成立，故利用導數(shù)判斷函數(shù)的增減性可求出f（x）的最大值，從而可得到m的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）是R上的奇函數(shù)，得f（0）=0，∴d=0，
∴f（x）=ax³+cx，對函數(shù)f（x）求導得f′（x）=3ax²+c，
由題意得：f（1）=-2，f′（1）=0，
∴

a+c=-2 3a+c=0

，解得a=1，c=-3，
∴f（x）=x³-3x；
（2）由（1）知f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
當x＜-1或x＞1時，f'（x）＞0，f（x）遞增；當-1＜x＜1時，f'（x）＜0，f（x）遞減；
∴f（x）在x=-1時取得極大值f（-1）=2，在x=1時取得極小值f（1）=-2，
x＜-1時f（x）＜2，x＞1時f（x）＞-2，
又直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個交點，
∴-2＜b＜2．
（3）由（1）知f'（x）=3x²-3，令f′（x）=0，得x₁=-1或x₂=1，
當x變化時，f′（x）、f（x）的變化如下表：

從上表可知，f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最大值是18．
原命題等價于m大于f（x）在[-3，3]上的最大值，所以m＞18．
故m的取值范圍是（18，+∞）．

點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)增減性的能力，利用導數(shù)求函數(shù)極值的能力，理解不等式恒成立的條件，考查轉(zhuǎn)化思想．