【題目】已知半徑為的球面上有兩點(diǎn)，且，球心為，若是球面上的動(dòng)點(diǎn)，且二面角的大小為，則四面體的外接球表面積為______.

【答案】

【解析】

設(shè)所在截面圓的圓心為，中點(diǎn)為，連接，易知，，從而可知即為二面角的平面角，，進(jìn)而可求出，，，由到三點(diǎn)的距離相等，可知四面體外接球的球心在射線上，設(shè)四面體外接球半徑為，在中，由勾股定理，可得，可求出，進(jìn)而求出外接球的表面積.

設(shè)所在截面圓的圓心為，中點(diǎn)為，連接，

則，所以，同理，所以即為二面角的平面角，.

因?yàn)?/span>，，所以是等腰直角三角形，所以.

在中，由，得，由勾股定理，得.

因?yàn)?/span>到三點(diǎn)的距離相等，所以四面體外接球的球心在射線上.

設(shè)四面體外接球半徑為，在中，，，，由勾股定理，可得，即，解得，所以.

故答案為：.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了研究家用轎車(chē)在高速公路上的車(chē)速情況，交通部門(mén)對(duì)100名家用轎車(chē)駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時(shí)的平均車(chē)速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車(chē)速超過(guò)100的有40人；在45名女性駕駛員中，平均車(chē)速不超過(guò)100的有25人.

（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為平均車(chē)速超過(guò)100的人與性別有關(guān).

平均車(chē)速超過(guò)100人數(shù)

平均車(chē)速不超過(guò)100人數(shù)

合計(jì)

男性駕駛員人數(shù)

女性駕駛員人數(shù)

合計(jì)

（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來(lái)估計(jì)總體，現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車(chē)中隨機(jī)抽取3輛，記這3輛車(chē)中駕駛員為男性且車(chē)速超過(guò)100的車(chē)輛數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式與數(shù)據(jù)：，其中

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程．

（2）若對(duì)任意的恒成立，求的值．

（3）在（2）的條件下，記，證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，，與拋物線交于，兩點(diǎn)，與拋物線交于，兩點(diǎn)，，分別為弦，的中點(diǎn)，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫(xiě)出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“愛(ài)國(guó)，是人世間最深層、最持久的情感，是一個(gè)人立德之源、立功之本�！痹谥腥A民族幾千年綿延發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，愛(ài)國(guó)主義始終是激昂的主旋律。愛(ài)國(guó)汽車(chē)公司擬對(duì)“東方紅”款高端汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行科技改造，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到科技改造投入（億元）與科技改造直接收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

2

3

4

6

8

10

13

21

22

23

24

25

13

22

31

42

50

56

58

68.5

68

67.5

66

66

當(dāng)時(shí)，建立了與的兩個(gè)回歸模型：模型①：；模型②：；當(dāng)時(shí)，確定與滿(mǎn)足的線性回歸方程為：.

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)“東方紅”款汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)科技改造的投入為17億元時(shí)的直接收益.

回歸模型

模型①

模型②

回歸方程

182.4

79.2

（附：刻畫(huà)回歸效果的相關(guān)指數(shù)，.）

（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)科技改造的投入不少于20億元時(shí)，國(guó)家給予公司補(bǔ)貼收益10億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，比較科技改造投入17億元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益的大��；

（附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式 ；）

（3）科技改造后，“東方紅”款汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率大幅提高，服從正態(tài)分布，公司對(duì)科技改造團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率不超過(guò)，不予獎(jiǎng)勵(lì)；若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率超過(guò)但不超過(guò)，每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獎(jiǎng)勵(lì)2萬(wàn)元；若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率超過(guò)，每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獎(jiǎng)勵(lì)5萬(wàn)元.求每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獲得獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)學(xué)期望.

（附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，，與拋物線交于，兩點(diǎn)，與拋物線交于，兩點(diǎn)，，分別為弦，的中點(diǎn)，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2020年開(kāi)始，國(guó)家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科為必考科目，滿(mǎn)分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專(zhuān)業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛(ài)好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門(mén)科目中自選3門(mén)參加考試（6選3），每科目滿(mǎn)分100分．為了應(yīng)對(duì)新高考，某高中從高一年級(jí)1000名學(xué)生（其中男生550人，女生450人）中，根據(jù)性別分層，采用分層抽樣的方法從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．

（1）學(xué)校計(jì)劃在高一上學(xué)期開(kāi)設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個(gè)科目，為了了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)科目的選課情況，對(duì)抽取到的100名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目），如表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表．請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)？說(shuō)明你的理由；

（2）在抽取到的女生中按（1）中的選課情況進(jìn)行分層抽樣，從中抽出9名女生，再?gòu)倪@9名女生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)這4人中選擇“地理”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

選擇“物理”

選擇“地理”

總計(jì)

男生

10

女生

25

總計(jì)

附參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.

0.05

0.01

3.841

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，是棱的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若是棱的中點(diǎn)，求三棱錐的體積與三棱柱的體積之比.

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同步練習(xí)冊(cè)答案