Question

已知函數f（x）的圖象與函數y=a^x-1，（a＞1）的圖象關于直線y=x對稱，g（x）=log_a（x²-3x+3）（a＞1）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）在區(qū)間[m，n]（m＞-1）上的值域為，求實數p的取值范圍；
（3）設函數F（x）=a^{f（x）-g（x）}（a＞1），若w≥F（x）對一切x∈（-1，+∞）恒成立，求實數w的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數f（x）的圖象與函數 y=a^x的圖象關于直線y=x對稱可知兩函數互為反函數，從而求出函數f（x）的解析式；
（2）根據函數的單調性建立等式關系，x²-3x+3=p+3x在（ ，+∞）有兩個不等的根，從而求出p的范圍；
另解：可轉化為函數y=x²+x，x∈（-1，0）∪（0，+∞）圖象與函數y=p的圖象有兩個交點問題，數形結合求解
（3）先求出函數F（x）的最大值，若w≥F（x）對一切x∈（-1，+∞）恒成立，轉化為w≥F（x）_max
解答：（本題滿分18分）
解：（文科）（1）由已知得 f（x）=log_a（x+1）；                          （4分）
（2）∵a＞1，∴f（x）在（-1，+∞）上為單調遞增函數，（6分）∴在區(qū)間[m，n]（m＞-1），，；
即．∴m，n是方程
即方程x²+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）的兩個相異的解，（8分）
這等價于，（10分）    解得為所求．（12分）
另解：可轉化為函數y=x²+x，x∈（-1，0）∪（0，+∞）圖象與函數y=p的圖象有兩個交點問題，數形結合求得：．
（3）（14分）∵，當且僅當時等號成立，∴，（16分）∴，∵w≥F（x）恒成立，∴w≥F（x）_max，所以為所求．（18分）
點評：題主要考查了函數解析式的求解，以及函數的值域和列舉法，同時考查了分析問題，解決問題的能力，屬于中檔題．