Question

四面體A-BCD的棱長(zhǎng)均為a，E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點(diǎn)
（1）求異面直線CF和BD所成的角的余弦值．
（2）求CF和ED所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)G為AB中點(diǎn)，連接CG，GF則BD∥GF，∠GFC為異面直線CF和BD所成的角，在△GFC中求解即可．
（2）連接AE，設(shè)H為AE中點(diǎn)，連接HF，則HF∥ED，∠HFC為CF和ED所成的角，在△HFC中求解即可．
解答：解：不妨設(shè)a=2，
（1）設(shè)G為AB中點(diǎn)，連接CG，GF則BD∥GF，∠GFC為異面直線CF和BD所成的角．
∵GF=BD=1，CG=CF===，
在△GFC中，由余弦定理得cos∠GFC===
異面直線CF和BD所成的角的余弦值為．
 

（2）連接AE，設(shè)H為AE中點(diǎn)，連接HF，則HF∥ED，∠HFC為CF和ED所成的角．
在△AHC中，AH=AE==，則HC²=AH²+AC²-2AH×ACcos30°=．
在△HFC中，HF=DE=，CF=，
由余弦定理得cos∠HFC===
∴CF和ED所成的角為arccos．
點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線夾角的大小計(jì)算．應(yīng)首先根據(jù)定義找出或作出夾角的平面角，在去解三角形求得．