Question

5．平面A₁B₁C₁∥平面ABC，A₁A⊥平面ABC，A₁A∥B₁B∥C₁C，AB=BC=AC=AA₁=4，求BC₁與平面ABB₁A₁所成角的大�。�（要求用幾何和向量兩種方法計算，并有規(guī)范的計算過程）
幾何方法：arcsin$\frac{\sqrt{6}}{4}$
向量方法：arcsin$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 幾何法：取A₁B₁的中點P，連接C₁P，BP，則C₁BP是BC₁與平面ABB₁A₁所成的角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．
向量法：取AB的中點O，取A₁B₁的中點P，建立以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB，OC，OP分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，進(jìn)行求解即可．

解答 解：幾何法：取A₁B₁的中點P，連接C₁P，BP，
由條件知該幾何體為正三棱柱，
則C₁P⊥平面ABB₁A₁，
則∠C₁BP是BC₁與平面ABB₁A₁所成的角，
∵AB=BC=AC=AA₁=4，
∴C₁P=2$\sqrt{3}$，BC₁=4$\sqrt{2}$，
則sin∠C₁BP=$\frac{{C}_{1}P}{B{C}_{1}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
則∠C₁BP=arcsin$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
向量法：取AB的中點O，取A₁B₁的中點P，
由條件知該幾何體為正三棱柱，
則OC⊥AB，
建立以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB，OC，OP分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
∵AB=BC=AC=AA₁=4，∴OC=2$\sqrt{3}$，
則B（2，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），C₁（0，2$\sqrt{3}$，4），
由正三棱柱的性質(zhì)得OC⊥平面ABB₁A₁，
則平面ABB₁A₁，的法向量為$\overrightarrow{OC}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，2$\sqrt{3}$，4），
設(shè)BC₁與平面ABB₁A₁所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$|=$\frac{2\sqrt{3}×2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}×\sqrt{4+12+16}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
即θ=arcsin$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故答案為：arcsin$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題主要考查線面角的求解，利用線面的定義以及向量法都可以進(jìn)行求解，要根據(jù)條件進(jìn)行合理的選擇．