(2012•山東)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC.
(Ⅰ)求證:a,b,c成等比數(shù)列;
(Ⅱ)若a=1,c=2,求△ABC的面積S.
分析:(I)由已知,利用三角函數(shù)的切化弦的原則可得,sinB(sinAcosC+sinCcosA)=sinAsinC,利用兩角和的正弦公式及三角形的內(nèi)角和公式代入可得sin2B=sinAsinC,由正弦定理可證
(II)由已知結(jié)合余弦定理可求cosB,利用同角平方關(guān)系可求sinB,代入三角形的面積公式S=
1
2
acsinB
可求.
解答:(I)證明:∵sinB(tanA+tanC)=tanAtanC
∴sinB(
sinA
cosA
 + 
sinC
cosC
)=
sinAsinC
cosAcosC

∴sinB•
sinAcosC+sinCcosA
cosAcosC
=
sinAsinc
cosAcosC

∴sinB(sinAcosC+sinCcosA)=sinAsinc
∴sinBsin(A+C)=sinAsinC,
∵A+B+C=π
∴sin(A+C)=sinB
即sin2B=sinAsinC,
由正弦定理可得:b2=ac,
所以a,b,c成等比數(shù)列.
(II)若a=1,c=2,則b2=ac=2,
cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
3
4
,
∵0<B<π
∴sinB=
1-cos2B
=  
7
4

∴△ABC的面積S=
1
2
acsinB=
1
2
×1×2×
7
4
=
7
4
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了三角形的切化弦及兩角和的正弦公式、三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用及余弦定理和三角形的面積公式的綜合應(yīng)用.
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3
4

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(Ⅱ)是否存在點(diǎn)M,使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(Ⅲ)若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
2
,直線l:y=kx+
1
4
與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D,E,求當(dāng)
1
2
≤k≤2時(shí),|AB|2+|DE|2的最小值.

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(Ⅰ)求證:BD⊥平面AED;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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(Ⅱ)對(duì)任意m∈N*,將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm,求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm

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