(2012•山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)是拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn),M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過(guò)M,F(xiàn),O三點(diǎn)的圓的圓心為Q,點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為
3
4

(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)是否存在點(diǎn)M,使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;
(Ⅲ)若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
2
,直線l:y=kx+
1
4
與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D,E,求當(dāng)
1
2
≤k≤2時(shí),|AB|2+|DE|2的最小值.
分析:(Ⅰ)通過(guò)F(0,
P
2
),圓心Q在線段OF平分線y=
p
4
上,推出求出p=1,推出拋物線C的方程.
(Ⅱ)假設(shè)存在點(diǎn)M(x0,
x02
2
),(x0>0)滿足條件,拋物線C在點(diǎn)M處的切線的斜率為函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出Q的坐標(biāo),利用|QM|=|OQ|,求出M(
2
,1
).使得直線MQ與拋物線C相切與點(diǎn)M.
(Ⅲ)當(dāng)x0=
2
時(shí),求出⊙Q的方程為.利用直線與拋物線方程聯(lián)立方程組.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),利用韋達(dá)定理,求出|AB|2.同理求出|DE|2,通過(guò)|AB|2+|DE|2的表達(dá)式,通過(guò)換元,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值.
解答:解:(Ⅰ)由題意可知F(0,
P
2
),圓心Q在線段OF平分線y=
p
4
上,
因?yàn)閽佄锞C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y=-
p
2
,
所以
3p
4
=
3
4
,即p=1,
因此拋物線C的方程x2=2y.
(Ⅱ)假設(shè)存在點(diǎn)M(x0
x02
2
),(x0>0)滿足條件,
拋物線C在點(diǎn)M處的切線的斜率為
y′
|
 
x=x0
=(
x2
2
) ′  
|
 
x=x0
=x0
令y=
1
4
得,xQ=
x0
2
+
1
4x0

所以Q(
x0
2
+
1
4x0
,
1
4
),
又|QM|=|OQ|,
( -
x0
2
+
1
4x0
)
2
+(
1
4
-
x02
2
2
=(
x0
2
+
1
4x0
)
2
+
1
16
,
因此(
1
4
-
x02
2
2
=
9
16
.又x0>0.
所以x0=
2
,此時(shí)M(
2
,1
).
故存在點(diǎn)M(
2
,1
),使得直線MQ與拋物線C相切與點(diǎn)M.
(Ⅲ)當(dāng)x0=
2
時(shí),由(Ⅱ)的Q(
5
2
8
,
1
4
),⊙Q的半徑為:r=
(
5
2
8
)
2
+(
1
4
)
2
=
3
6
8

所以⊙Q的方程為(x-
5
2
8
)
2
+(y-
1
4
)
2
=
27
32

y=
1
2
x2
y=kx+
1
4
,整理得2x2-4kx-1=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由于△=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-
1
2
,
所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x22-4x1x2]=(1+k2)(4k2+2).
(x-
5
2
8
)
2
+(y-
1
4
)
2
=
27
32
y=kx+
1
4
,整理得(1+k2)x2-
5
2
4
x-
1
16
=0
,
設(shè)D,E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x3,y3),(x4,y4),
由于△=
k2
4
+
27
8
>0,x3+x4=
5
2
4(1+ k 2)
,x3x4=-
1
16(1+ k 2)

所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x42-4x3x4]=
25
8(1+ k 2)
+
1
4
,
因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+
25
8(1+ k 2)
+
1
4
,令1+k2=t,由于
1
2
≤t≤5
,則
5
4
≤t≤5
,
所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)+
25
8t
+
1
4
=4t2-2t+
25
8t
+
1
4

設(shè)g(t)=4t2-2t+
25
8t
+
1
4
,t∈ [
5
4
,5]
,因?yàn)間′(t)=8t-2-
25
8t2
,
所以當(dāng)t∈ [
5
4
,5]
,g′(t)≥g′(
5
4
)=6,
即函數(shù)g(t)在t∈ [
5
4
,5]
是增函數(shù),所以當(dāng)t=
5
4
時(shí),g(t)取最小值
13
2
,
因此當(dāng)k=
1
2
時(shí),|AB|2+|DE|2的最小值為
13
2
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì),設(shè)而不求的解題方法,弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
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