Question

14．若數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，且$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$=n²+n，則a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$等于（　�。�

• A． 2n²+2n
• B． n²+2n
• C． 2n²+n
• D． 2（n²+2n）

Answer 1

分析 利用數(shù)列遞推關(guān)系可得a_n，再利用等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：∵$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n}}$=n²+n，∴n=1時(shí)，$\sqrt{{a}_{1}}$=2，解得a₁=4．
n≥2時(shí)，$\sqrt{{a}_{1}}$+$\sqrt{{a}_{2}}$+…+$\sqrt{{a}_{n-1}}$=（n-1）²+n-1，
相減可得：$\sqrt{{a}_{n}}$=2n，∴a_n=4n²．n=1時(shí)也成立．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=4n．
則a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=4（1+2+…+n）=4×$\frac{n（1+n）}{2}$=2n²+2n．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．