Question

4．已知圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)、極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，取相同單位長度（其中ρ≥0，θ∈[0，2π））．若傾斜角為$\frac{3π}{4}$且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與圓E相交于點(diǎn)A（A點(diǎn)不是原點(diǎn)）．
（1）求點(diǎn)A的極坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線m過線段OA的中點(diǎn)M，且直線m交圓E于B，C兩點(diǎn)，求||MB|-|MC||的最大值．

Answer 1

分析 （1）（解法一）直線l的傾斜角為$\frac{3π}{4}$，可得：點(diǎn)A的極角$θ=\frac{3π}{4}$，代入圓E的極坐標(biāo)方程ρ．
（解法二）由已知得直線的l的直角方程為y=-x，圓E的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-4y=0，聯(lián)立得A點(diǎn)直角坐標(biāo)為（-2，2），化為極坐標(biāo)．
（2）（解法一），第一（1）問用極坐標(biāo)做的）由（1）得線段OA的中點(diǎn)M的極坐標(biāo)是$（\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$，可得M的直角坐標(biāo)為（-1，1），圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，可得圓E的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-4y=0，設(shè)直線m的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入x²+y²-4y=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．
（解法二）由（1）知A（2，-2），則M（1，-1）${|{MB}|_{man}}=|{ME}|+2=2+\sqrt{2}$，${|{MC}|_{mIn}}=2-|{ME}|=2-\sqrt{2}$，即可得出．
（解法三）由（1）A點(diǎn)直角坐標(biāo)為（-2，2），M是OA中點(diǎn)，所以M點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1），圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，∴圓E的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-4y=0，當(dāng)BC⊥x軸時(shí)，直線BC方程為x=-1，聯(lián)立解得B，C，分類討論即可得出．

解答 解：（1）（解法一）∵直線l的傾斜角為$\frac{3π}{4}$，∴點(diǎn)A的極角$θ=\frac{3π}{4}$…（1分）
代入圓E的極坐標(biāo)方程得$ρ=2\sqrt{2}$…（2分）∴點(diǎn)A的極坐標(biāo)$（2\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$…（3分）
（解法二）由已知得直線的l的直角方程為y=-x①，
圓E的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-4y=0②…（1分）
（寫對其中一個(gè)方程均給1分）
聯(lián)立①②得A點(diǎn)直角坐標(biāo)為（-2，2），…（2分）
由$ρ=\sqrt{{x^2}+{y^2}}，tanθ=\frac{y}{x}$得A點(diǎn)極坐標(biāo)A$（{2\sqrt{2}，\frac{3π}{4}}）$…（3分）
（不寫公式不扣分）
（2）（解法一，第一（1）問用極坐標(biāo)做的）由（1）得線段OA的中點(diǎn)M的極坐標(biāo)是$（\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$，∴M的直角坐標(biāo)為（-1，1）…（4分）∵圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，∴圓E的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-4y=0…（5分）
設(shè)直線m的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t為參數(shù)）…（6分）
代入x²+y²-4y=0得t²-2t（sinα+cosα）-2=0．∵△=4（sinα+cosα）²+8＞0
，設(shè)B，C的參數(shù)依次為t₁，t₂，則t₁+t₂=2（sinα+cosα）…（7分）∴||MB|-|MC||=||t₁|-|t₂||=|t₁+t₂|…（8分）=2|sinα+cosα|=$2\sqrt{2}|sin（α+\frac{π}{4}）|$…（9分）∴||MB|-|MC||的最大值為$2\sqrt{2}|$（此時(shí)直線m的傾斜角為$\frac{π}{4}$）…（10分）
（解法二）由（1）知A（2，-2），則M（1，-1）…（1分）${|{MB}|_{man}}=|{ME}|+2=2+\sqrt{2}$…（3分）${|{MC}|_{mIn}}=2-|{ME}|=2-\sqrt{2}$…（5分）$|{|{MB}|-|{MC}|}|≤{|{MB}|_{max}}-{|{MC}|_{min}}=2\sqrt{2}$…（6分）
（解法三）由（1）A點(diǎn)直角坐標(biāo)為（-2，2），M是OA中點(diǎn)，所以M點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1）…（4分）∵圓E的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，∴圓E的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-4y=0…（5分）
當(dāng)BC⊥x軸時(shí)，直線BC方程為x=-1…（6分）（會分類就給1分）$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1}\\{{x^2}+{y^2}-4y=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2+\sqrt{3}}\end{array}}\right.$或$\left\{{，}\right.\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2-\sqrt{3}}\end{array}$
不妨設(shè)$B（-1，2-\sqrt{3}），C（-1，2+\sqrt{3}）$$||MB|-|MC||=|{|{2-\sqrt{3}-1}|-|{2+\sqrt{3}-1}|}|=|{\sqrt{3}-1-1-\sqrt{3}}|=2$…（7分）
當(dāng)BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線BC方程為y-1=k（x+1），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）$\left\{{\begin{array}{l}{y-1=k（x+1）}\\{{x^2}+{y^2}-4y=0}\end{array}}\right.$消y得（1+k²）x²+2k（k-1）x+k²-2k-3=0${x_1}+{x_2}=-\frac{{2k（{k-1}）}}{{1+{k^2}}}，\begin{array}{l}{\;}&{{x_1}{x_2}=\frac{{{k^2}-2k-3}}{{1+{k^2}}}，}\end{array}$…（8分）
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），$|{MB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}+1}|，|{MC}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_2}+1}|$$||MB|-|MC||=|{\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}+1}|-\sqrt{1+{k^2}}|{{x_2}+1}|}|$…（9分）
$\begin{array}{l}||MB|-|MC||=\sqrt{1+{k^2}}|{|{{x_1}+1}|-|{{x_2}+1}|}|\\=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}+{x_2}+2}|\end{array}$（若會用兩點(diǎn)間距離公式給1分）=$\sqrt{1+{k^2}}|{-\frac{{2k（{k-1}）}}{{1+{k^2}}}+2}|=\frac{{|{2（{k+1}）}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$…（8分）
=$2\sqrt{1+\frac{2k}{{1+{k^2}}}}≥2\sqrt{1+\frac{2k}{1k}}$…（9分）
=$2\sqrt{2}$…（10分）

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．