Question

18．已知函數f（x）對任意實數x，y滿足f（x）+f（y）=f（x+y）+3，f（3）=6，當x＞0 時，f（x）＞3，那么，當f（2a+1）＜5時，實數a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 先判斷f（x）的單調性，再計算f（2）=5，不等式轉化為2a+1＜2解出．

解答 解：設x₁＜x₂，x₁、x₂∈R，則x₂-x₁＞0，
∵當x＞0時，f（x）＞3，
∴f（x₂-x₁）＞3，
∵f（x+y）=f（x）+f（y）-3，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）-3=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）-3＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上遞增，
∵f（3）=f（2）+f（1）-3=f（1）+f（1）-3+f（1）-3=3f（1）-6=6，
∴f（1）=4，∴f（2）=5
∴f（2a+1）＜5等價于2a+1＜2．
 a＜$\frac{1}{2}$
故答案為：（-∞，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查抽象函數的性質，考查利用單調性解不等式，已知抽象函數的運算性質，常用“賦值法”，屬于基礎題．