設向量a=(x2-3,1),b=(2x,-y)(其中實數(shù)y和x不同時為零),當|x|>1時,有a⊥b;當|x|≤1時,有a∥b.
(Ⅰ)求函數(shù)解析式y(tǒng)=f(x);
(Ⅱ)設α∈(0,
π
2
)
,且f(sinα)=
1
2
,求α.
分析:(Ⅰ)根據(jù)題意分類討論,當|x|>1時由
a
b
,可得函數(shù)解析式;|x|≤1時由
a
b
,可得其函數(shù)表達式;兩者合起來即可;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知道,α∈(0,
π
2
)
,由f(sinα)=
1
2
即得
2sinα
3-sin2α
=
1
2
,從而可求得sinα=
7
-2
,利用反正弦可求得α.
解答:解:(Ⅰ)∵當|x|>1時
a
b
,
∴(x2-3)•2x-y=0,
∴y=2x3-6x(|x|>1)(2分)
∵當|x|≤1時
a
b

∴(x2-3)•(-y)=2x,
∵實數(shù)y和x不同時為零,
y=
2x
3-x2
(|x|≤1,且x≠0)
(4分)
y=f(x)=
2x3-6x,(x<-1或x>1)
2x
3-x2
,(-1≤x≤1且x≠0)
(6分)
(Ⅱ)由|sinα|≤1且f(sinα)=
1
2
,
∴有
2sinα
3-sin2α
=
1
2
,(8分)
∴sin2α+4sinα-3=0,(sinα+2)2=7,
sinα=±
7
-2
(舍負),且有0<
7
-2<1
(10分)
又∵α∈(0,
π
2
)
,
α=arcsin(
7
-2)
(12分)
點評:本題考查三角函數(shù)的化簡求值,著重考查平面向量的坐標表示及垂直與平行的應用,難點在于反正弦的理解與應用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

給出下列四個結論:
①命題“?x∈R,x2-x+1≥
3
4
”的否定是“?x0∈R,x02-x0+1<
3
4
”;
②一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是5,則這個扇形的圓心角的弧度數(shù)是5;
③將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移
π
4
個單位長度,得到函數(shù)y=cos(2x-
π
4
)
的圖象;
④命題“設向量
a
=(4sinα,3),
b
=(2,3cosα)
,若
a
b
,則α=
π
4
”的逆命題,否命題,逆否命題中的真命題的個數(shù)為2.
其中正確的結論個數(shù)為(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設向量a=(x2-3,1),b=(2x,-y)(其中實數(shù)y和x不同時為零),當|x|>1時,有a⊥b;當|x|≤1時,有a∥b.
(Ⅰ)求函數(shù)解析式y(tǒng)=f(x);
(Ⅱ)設數(shù)學公式,且數(shù)學公式,求α.

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科目:高中數(shù)學 來源:2009-2010學年遼寧省本溪市高中模塊結業(yè)數(shù)學試卷A(必修4)(7月份)(解析版) 題型:解答題

設向量a=(x2-3,1),b=(2x,-y)(其中實數(shù)y和x不同時為零),當|x|>1時,有a⊥b;當|x|≤1時,有a∥b.
(Ⅰ)求函數(shù)解析式y(tǒng)=f(x);
(Ⅱ)設,且,求α.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

設向量a=(x2-3,1),b=(2x,-y)(其中實數(shù)y和x不同時為零),當|x|>1時,有a⊥b;當|x|≤1時,有ab.
(Ⅰ)求函數(shù)解析式y(tǒng)=f(x);
(Ⅱ)設α∈(0,
π
2
)
,且f(sinα)=
1
2
,求α.

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