Question

17．已知$f（x）=\frac{x^3}{3}-x$，$g（x）=mx+\frac{1}{3}$，若對(duì)任意的x₁∈[-1，2]，總存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是$[-\frac{1}{3}，\frac{1}{6}]$．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)任意的x₁∈[-1，2]，總存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂），可得兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)關(guān)于m的不等式組，解不等式組可得答案．

解答 解：∵$f（x）=\frac{x^3}{3}-x$，
∴f′（x）=x²-1，
∴-1＜x＜1，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；1＜x＜2，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）∈[-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$]，記A=[-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$]．
由題意，知m=0時(shí)成立，
當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）=mx+$\frac{1}{3}$在[-1，2]上是增函數(shù)，
∴g（x）∈[-m+$\frac{1}{3}$，2m+$\frac{1}{3}$]，記B=[-m+$\frac{1}{3}$，2m+$\frac{1}{3}$]．
由題意，知B⊆A
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m+\frac{1}{3}≥-\frac{2}{3}}\\{2m+\frac{1}{3}≤\frac{2}{3}}\\{m＞0}\end{array}\right.$，解得0＜m≤$\frac{1}{6}$…（9分）
當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）=mx+$\frac{1}{3}$在[-1，2]上是減函數(shù)，
∴g（x）∈[2m+$\frac{1}{3}$，-m+$\frac{1}{3}$]，記C=[2m+$\frac{1}{3}$，-m+$\frac{1}{3}$]．
由題意，知C⊆A
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+\frac{1}{3}≥-\frac{2}{3}}\\{-m+\frac{1}{3}≤\frac{2}{3}}\\{m＜0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{1}{3}$≤m＜0．
綜上所述，-$\frac{1}{3}$≤m≤$\frac{1}{6}$．
故答案為$[-\frac{1}{3}，\frac{1}{6}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，存在性問(wèn)題，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為值域的包含關(guān)系難度較大．