Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，PA=4，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點．
（1）求異面直線BC與PD所成角的正切值；
（2）求證：CD⊥PE．

Answer 1

分析 （1）利用BC∥AD，得到∠PDA為異面直線BC與PD所成角；
（2）連接AC，求出其長度與AD 相等，E為CD 中點，得到CD與AE 垂直，利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理得到證明．

解答 （1）解：∵∠DAB=∠ABC=90°∴BC∥AD
∴∠PDA為異面直線BC與PD所成角，
所以異面直線BC與PD所成角的正切值$\frac{4}{5}$----（6分）
（2）證明：連接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5．
又AD=5，E是CD的中點，所以CD⊥AE．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD．
而PA，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE．
又PE?面PAE，所以CD⊥PE---（12分）

點評 本題考查了異面直線所成的角；關(guān)鍵是將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面角．