Question

已知函數(shù)法（x）=x²+2ax+2．
①若方程f（x）=0有兩不相等的正根，求a的取值范圍；
②若函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（1-x），求函數(shù)在x∈[-5，5]的最大值和最小值；
③求f（x）在x∈[-5，5]的最小值．

Answer 1

分析：（1）方程f（x）=0有兩不相等的正根等價(jià)于

△=4a2-8＞0 x1+x2=-2a＞0 x1•x2=2＞0

，解此不等式組即可．
（2）由f（x+1）=f（1-x）可以求出a=-1，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解．
（3）對稱軸x=-a，分-a＜-5，-5≤-a≤5，-a＞5三類，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解．

解答：解：（1）設(shè)方程x²+2ax+2=0的兩根為x₁，x₂，
則

△=4a2-8＞0 x1+x2=-2a＞0 x1•x2=2＞0

，解得a＜ -

2

 
（2）由題意得（x+1）²+2a（x+1）+2=（1-x）²+2a（1-x）+2
即4（1+a）x=0對任意x∈R恒成立，
∴a=-1．∴f（x）=x²-2x+2，x∈[-5，5]，
∵f（x）在[-5，1]上單調(diào)遞減，在[1，5]上單調(diào)遞增，
∴f（x）的最大值為f（-5）=37，f（x）的最小值為f（1）=1．
（3）對稱軸x=-a，
當(dāng)-a＜-5，即a＞5時(shí)，f（x）在[-5，5]上單調(diào)遞增，f（x）的最小值為f（-5）=27-10a，
當(dāng)-5≤-a≤5，即-5≤a≤5時(shí)，f（x）在[-5，-a]上單調(diào)遞減，在[-a，5]上單調(diào)遞增，
f（x）的最小值為f（-a）=2-a²．
當(dāng)-a＞5，即a＜-5時(shí)，f（x）在[-5，5]上單調(diào)遞減，f（x）的最小值為f（5）=27+10a．
綜上：f（x）_min=

27+10a，a＜-5 2-a2     -5≤a≤5 27-10a    a＞5

點(diǎn)評：本題考查二次方程根的分布，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、計(jì)算能力．