【答案】
分析：（1）將k=e代入，求出函數(shù)的解析式，進而求出導函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的單調性，可得函數(shù)的極值．
（2）由已知中函數(shù)的解析式，求出導函數(shù)的解析式，對k進行分類討論，確定x在不同情況下導函數(shù)的符號，進而可得函數(shù)的單調性．
（3）解法一：根據(jù)（2）中函數(shù)的單調性分k=0時，k＜0，k＞0三種情況討論k取不同值時函數(shù)零點個數(shù)，最后綜合討論結果，可得答案．
解法二：根據(jù)函數(shù)的導函數(shù)，分k=0時，k＜0，k＞0三種情況討論k取不同值時，函數(shù)y=e
x與y=kx圖象交點的個數(shù)（即函數(shù)零點的個數(shù)），最后綜合討論結果，可得答案．
解答：解：（1）由k=e得f（x）=e
x-ex，
所以f'（x）=e
x-e．
令f′（x）=0，得e
x-e=0，解得x=1．
由f'（x）＞0得x＞1，由f'（x）＜0得x＜1，
當x變化時，f'（x）、f（x）的變化情況如下表：
| x | （-∞，1） | 1 | （1，+∞） |
| f'（x） | - | | + |
| f（x） | 單調遞減 | 極小值 | 單調遞增 |
…（2分）
所以當x=1時，f（x）有極小值為0，無極大值． …（3分）
（2）由f（x）=e
x-kx，x∈R，得f'（x）=e
x-k．
①當k≤0時，則f'（x）=e
x-k＞0對x∈R恒成立，
此時f（x）的單調遞增，遞增區(qū)間為（-∞，+∞）． …（4分）
②當k＞0時，
由f'（x）=e
x-k＞0，得到x＞lnk，
由f'（x）=e
x-k＜0，得到x＜lnk，
所以，k＞0時，f（x）的單調遞增區(qū)間是（lnk，+∞）；遞減區(qū)間是（-∞，lnk）． …（6分）
綜上，當k≤0時，f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當k＞0時，f（x）的單調遞增區(qū)間是（lnk，+∞）；遞減區(qū)間是（-∞，lnk）． …（7分）
（3）解法一：
①當k=0時，f（x）=e
x＞0，對x∈R恒成立，所以函數(shù)f（x）在（-∞，4]上無零點．…（8分）
②當k＜0時，由（2）知，f'（x）=e
x-k＞0對x∈R恒成立，函數(shù)f（x）在（-∞，4]上單調遞增，
又f（0）=1＞0，
，…（9分）
所以函數(shù)f（x）在（-∞，4]上只有一個零點． …（10分）
③當k＞0時，令f'（x）=e
x-k=0，
得x=lnk，且f（x）在（-∞，lnk）上單調遞減，在（lnk，+∞）上單調遞增，f（x）在x=lnk時取得極小值，
即f（x）在（-∞，4]上最多存在兩個零點．
（�。┤艉瘮�(shù)f（x）在（-∞，4]上有2個零點，
則
，
解得
；…（11分）
（ⅱ）若函數(shù)f（x）在（-∞，4]上有1個零點，
則f（4）＜0或
，
解得
或k=e； …（12分）
（ⅲ）若函數(shù)f（x）在（-∞，4]上沒有零點，
則
或f（lnk）=k（1-lnk）＞0，
解得k∈（0，e）． …（13分）
綜上所述，當
時，f（x）在（-∞，4]上有2個零點；
當
或k=e時，f（x）在（-∞，4]上有1個零點；
當k∈[0，e）時，f（x）在（-∞，4]上無零點． …（14分）
解法二：∵f（x）=e
x-kx，x∈R．
當k=0時，f（x）=e
x＞0對x∈R恒成立，所以函數(shù)f（x）在（-∞，4]上無零點．…（8分）
當k≠0時，f（x）=e
x-kx在（-∞，4]上的零點就
是方程e
x=kx在（-∞，4]上的解，即函數(shù)y=e
x與y=kx在（-∞，4]上的交點的橫坐標． …（9分）
①當k＜0時，如圖1，函數(shù)y=e
x與y=kx只在（-∞，0）上
有一個交點，即函數(shù)f（x）在（-∞，4]上有一個零點． …（10分）
②當k＞0時，
若y=e
x與y=kx相切時，
如圖2，設切點坐標為
，則
，
即切線的斜率是
，
所以
，
解得x
=1＜4，
即當k=e時，y=e
x與y=kx只有一個交點，
函數(shù)f（x）在（-∞，4]上只有一個零點x=1；…（11分）
由此，還可以知道，當0＜k＜e時，函數(shù)f（x）在（-∞，4]上無零點． …（12分）
當y=kx過點（4，e
4）時，如圖3，
，
所以
時，y=e
x與y=kx在（-∞，4]上
有兩個交點，即函數(shù)f（x）在（-∞，4]上有兩個零點；
時，y=e
x與y=kx在（-∞，4]上只有一個
交點，即函數(shù)f（x）在（-∞，4]上只有一個零點． …（13分）
綜上所述，當
時，函數(shù)f（x）在（-∞，4]上有2個零點；
當
或k=e時，函數(shù)f（x）在（-∞，4]上有1個零點；
當k∈[0，e）時，函數(shù)f（x）在（-∞，4]上無零點． …（14分）
點評：本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件，根的存在性及根的個數(shù)判斷，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，是導數(shù)的綜合應用，特別是第（3）中分類比較復雜，難度較大．
