Question

已知函數(shù)．，其中a，b∈R
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的，不等式f（x）≤10在上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[，1]上的最大值為與f（1）中的較大者，對(duì)于任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在[，1]上恒成立，利用函數(shù)的最值列出關(guān)于a，b的不等關(guān)系，從而得滿足條件的b的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ），
當(dāng)a≤0時(shí)，顯然f'（x）＞0（x≠0），這時(shí)f（x）在（-∞，0），（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，解得x=，
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-）	-	（-，0）	（0，）		（，+∞）
f'（x）	+		-	-		+
f（x）	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

所以f（x）在（-∞，-），（，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，在（-，0），（0，）內(nèi)是減函數(shù)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[，1]上的最大值為與f（1）中的較大者，對(duì)于任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在[，1]上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，對(duì)任意的a∈[，2]成立．從而得b≤，所以滿足條件的b的取值范圍是（-∞，]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．