Question

已知函數(shù)f(x)=m(x+

1

x

)-2的圖象與函數(shù)h(x)=

1

4

(x+

1

x

)+2的圖象關(guān)于原點對稱．
（1）求m的值；
（2）若g(x)=f(x)+

a

4x

，求g（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）關(guān)于原點對稱的函數(shù)，根據(jù)與函數(shù)h(x)=

1

4

(x+

1

x

)+2是同一個函數(shù)，可求出m的值；
（2）先求出g（x）的解析式，然后討論a+1的符號，以及

a+1

與區(qū)間[1，2]的位置關(guān)系，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性以及基本不等式即可求出函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=m(x+

1

x

)-2關(guān)于原點對稱的函數(shù)是-y=-m(x+

1

x

)-2即y=m(x+

1

x

)+2，
∴y=m(x+

1

x

)+2與函數(shù)h(x)=

1

4

(x+

1

x

)+2是同一個函數(shù)
∴m=

1

4

．
（2）g(x)=

1

4

(x+

1

x

)-2+

a

4x

=

1

4

(x+

a+1

x

)-2，x∈[1，2]
∴當(dāng)a+1≤0即a≤-1時，g（x）_min=g(1)=

1

4

a-

3

2

，
當(dāng)a+1＞0，即a＞-1
當(dāng)-1＜a≤0時，函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，則g（x）_min=g(1)=

1

4

a-

3

2

，
若

a+1

＜2，即0＜a＜3時，g（x）_min=

a+1

2

-2
若

a+1

≥2即a≥3時，g（x）_min=g（2）=

1

8

a-

11

8

．
綜上所知：gmin(x)=

1 4 a- 3 2 a≤0 a+1 2 -2 0＜a＜3 1 8 a- 11 8 a≥3

點評：本題主要考查了函數(shù)最值的應(yīng)用，以及利用函數(shù)單調(diào)性和基本不等式求最值，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．