Question

已知函數(shù)f（x）=|x²+2x-1|，若a＜b＜-1且f（a）=f（b），則ab+a+b的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將f（x）寫成：f（x）=

x2+2x-1 x≤-1- 2 ，或x≥-1+ 2 -x2-2x+1 -1- 2 ＜x＜-1+ 2

，所以圖象應(yīng)為兩段二次函數(shù)圖象，畫出f（x）圖象，即可由圖象求得f（a）=a²+2a-1，f（b）=-b²-2b+1，所以由f（a）=f（b）可求出a+b=

-a2-b2

2

+1，所以ab+a+b=-

(a-b)2

2

+1，而由圖象可看出0＜b-a＜2，這樣即可求出-

(a-b)2

2

+1的范圍，即求出ab+a+b的范圍．

解答： 解：f（x）=|x²+2x-1|=

x2+2x-1 x≤-1- 2 ，或x≥-1+ 2 -x2-2x+1 -1- 2 ＜x＜-1+ 2

，該函數(shù)的圖象如下所示：
根據(jù)圖形可知f（a）=a²+2a-1，f（b）=-b²-2b+1，∴a²+2a-1=-b²-2b+1，∴a+b=

-a2-b2

2

+1；
∴ab+a+b=ab+

-a2-b2

2

+1=-

(a-b)2

2

+1；
x=-1時，f（x）=2，令x²+2x-1=2得x=-3，或1，∴由圖可得0＜b-a＜2；
∴0＜(a-b)2＜4，-1＜-

(a-b)2

2

+1＜1；
∴ab+a+b的取值范圍是（-1，1）．
故答案為：（-1，1）．

點評：考查處理含絕對值函數(shù)的方法，及畫分段函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象，以及數(shù)形結(jié)合解決問題．