Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx（a∈R）
（1）當a=$\frac{2}{3}$時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=（x²-2x）e^x，如果對任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)直接求單調(diào)區(qū)間；
（2）若要命題成立，只需當x∈（0，2]時，f（x）_max＜g（x）_max．分別求出最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$，…（2分）
所以a=$\frac{2}{3}$時，f′（x）=$\frac{（2x-3）（x-2）}{3x}$，
其單調(diào)遞增區(qū)間為（0，$\frac{3}{2}$），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{3}{2}，2））$．   …（5分）
（2）若要命題成立，只需當x∈（0，2]時，f（x）_max＜g（x）_max．
由g′（x）=（x²-2）e^x可知，當x∈（0，2]時，g（x）在區(qū)間（0，$\sqrt{2}$）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（$\sqrt{2}$，2]上單調(diào)遞增，
g（0）=g（2）=0，故g（x）_max=0，…（7分）
所以只需f（x）_max＜0．
對函數(shù)f（x）來說，f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$=$\frac{（ax-1）（x-2）}{x}$
當a≤0時，由x∈（0，2]，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞增，
f（x）_max=f（2）=2ln2-2a-2＜0，故ln2-1＜a≤0
當0＜a≤2時，$\frac{1}{a}≥2$，由x∈（0，2），ax-1≥0，故f′（x）≥0，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞增，
f（x）_max=f（2）=2ln2-2a-2＜0，a＞ln2-1
故0＜a≤2滿足題意
當a＞$\frac{1}{2}$時，$0＜\frac{1}{a}＜2$，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（$\frac{1}{a}，2）$上單調(diào)遞減，
f（x）_max=f（$\frac{1}{a}）$=-2lna-$\frac{1}{2a}$-2．
若a≥1時，顯然小于0，滿足題意；
若$\frac{1}{2}＜a＜1$時，可令h（a）=-2lna-$\frac{1}{2a}$-2，$h′（a）=\frac{1-4a}{2{a}^{2}}$，
可知該函數(shù)在$\frac{1}{2}＜a＜1$時單調(diào)遞減，
$h（a）＜h（\frac{1}{2}）=2ln2-3＜0$，滿足題意，所以a＞$\frac{1}{2}$滿足題意．
綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是（ln2-1，+∞）                 …（14分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性及存在、任意的處理方法，屬于中檔題．