Question

19．已知A，B是拋物線y²=4x上異于原點(diǎn)O的兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$
（1）求證：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（4，0）
（2）若將$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$改為$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=m（m≠0）$，判斷直線AB是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)．若是，請(qǐng)寫(xiě)出m=-2時(shí)該定點(diǎn)的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)論即可）

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB方程為x=my+b，將直線AB方程代入拋物線方程y²=4x，得y²-4my-4b=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線垂直的條件，能夠證明直線AB過(guò)定點(diǎn)M（4，0）．
（2）當(dāng)m=-2時(shí)，無(wú)論是直線$y=kx-（2-\sqrt{2}）k$還是直線$y=kx-（2+\sqrt{2}）k$均滿足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-2$，但第一條直線恒過(guò)$（2-\sqrt{2}，0）$，第二條直線恒過(guò)$（2+\sqrt{2}，0）$，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：設(shè)直線AB方程為x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線AB方程代入拋物線方程y²=4x，
得y²-4my-4b=0，
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
∴OA⊥OB，∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{16}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-$\frac{4}$=-1，b=4．
于是直線AB方程為x=my+4，該直線過(guò)定點(diǎn)（4，0）．
（2）否，當(dāng)m=-2時(shí)，無(wú)論是直線$y=kx-（2-\sqrt{2}）k$還是直線$y=kx-（2+\sqrt{2}）k$均滿足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-2$，但第一條直線恒過(guò)$（2-\sqrt{2}，0）$，第二條直線恒過(guò)$（2+\sqrt{2}，0）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線過(guò)定點(diǎn)的證明，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．