Question

已知{an}是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a4a5=55,a3+a6=16

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）若數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}滿足等式：

an-1=，an=（為正整數(shù)），

設數(shù)列{bn}的前項和，cn=(an+19)(Sn+50),數(shù)列{cn}前n項和為Tn，

求Tn的最小值

 

Answer 1

(1)an=6n-19 (2)144

【解析】(1)a3+a6=16a4+a5=16

又a4a5=55，所以a4=5，a5=11，所以d=6

所以等差數(shù)列{an}的通項公式an=6n-19

(2)當n=1時,S1=b1=2a1=-26

當n≥2時,

∵an-an-1=,∴bn=6·2n

∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=-26+b2+b3+…+bn=-50+6·2n+1

檢驗知：Sn=-50+6·2n+1對為任意正整數(shù)時皆成立．

∵cn=(an+19)(Sn+50)=72n·2n

∴Tn=c1+c2+c3+…+cn……①

∴2Tn=2c1+2c2+2c3+…+2cn……②

①-②得

-Tn=c1+72·22+72·23+72·24+…+72·2n-72n·2n+1

=72·2+72·22+72·23+72·24+…+72·2n-72n·2n+1

=72(2+22+23+24+…+2n)-72n·2n+1

=144(2n-1)-72n·2n+1

∴Tn=144(n-1)2n+144

∵Tn為遞增數(shù)列，

∴n=1時, Tn=T1=144最小

∴Tn的最小值為144