Question

設(shè)函數(shù)f(x)=alnx+

ax2

2

-2x，a∈R．
（1）當a=1時，試求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，再分類討論．分a＜0、a=0、a≥1、0＜a＜1，研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
當a=1時，f（x）=1nx+

x2

2

-2x，因為f′（x）=

1

x

+x-2=

(x-1)2

x

≥0，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，
則當x=e時，函數(shù)f（x）取得最大值f（e）=1+

e2

2

-2e．
（2）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=

ax2-2x+a

x

．
當a=0時，因為f′（x）=-2＜0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．
當a＞0時，
①當△=4-4a²≤0時，即a≥1時，f′（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；…（9分）
②當△=4-4a²＞0時，即0＜a＜1時，由f′（x）＞0解得，0＜x＜

1- 1-a2

a

，或x＞

1+ 1-a2

a

．
由f′（x）＜0解得

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

．
所以當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，

1- 1-a2

a

）上單調(diào)遞增；在

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

）
上單調(diào)遞減，（

1+ 1-a2

a

，+∞）單調(diào)遞增．
當a＜0時，因為f′（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確利用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．