Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)有最小值，求的值域.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)

【解析】

（1）先求出，分和兩種情形，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.

（2）求出并將其化簡(jiǎn)為，構(gòu)建新函數(shù)，利用（1）的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理可得有唯一的，它就是函數(shù)最小值點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可求該最小值的值域.

解：（1）定義域?yàn)?/span>，

.

令，①

，

當(dāng)時(shí)，，，

即且不恒為零，故單調(diào)遞增區(qū)間為，，

當(dāng)時(shí)，，方程①兩根為，，

由于，

.

故，

因此當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

，，單調(diào)遞減，

，，單調(diào)遞減，

，，單調(diào)遞增，

綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

，單調(diào)遞減；

在單調(diào)遞增.

（2），

設(shè)，

由（1）知，時(shí)，在單調(diào)遞增，

由于，，

故在存在唯一，使，

，

又當(dāng)，，即，單調(diào)遞減，

，，即，單調(diào)遞增，

故時(shí)，

，.

又設(shè)，，

，

故單調(diào)遞增，故，

即，即.