Question

8．若正數(shù)x，y滿足15x-y=22，則x³+y³-x²-y²的最小值為1．

Answer 1

分析 由題意可得x＞$\frac{22}{15}$，y＞0，又x³+y³-x²-y²=（x³-x²）+（y³-y²），求出y³-y²≥-$\frac{1}{4}$y，當且僅當y=$\frac{1}{2}$時取得等號，設(shè)f（x）=x³-x²，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，即可得到所求最小值．

解答 解：由正數(shù)x，y滿足15x-y=22，可得y=15x-22＞0，則x＞$\frac{22}{15}$，y＞0，
又x³+y³-x²-y²=（x³-x²）+（y³-y²），
其中y³-y²+$\frac{1}{4}$y=y（y²-y+$\frac{1}{4}$）=y（y-$\frac{1}{2}$）²≥0，
即y³-y²≥-$\frac{1}{4}$y，
當且僅當y=$\frac{1}{2}$時取得等號，
設(shè)f（x）=x³-x²，f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
當x=$\frac{3}{2}$時，f（x）的導(dǎo)數(shù)為$\frac{3}{2}$×（$\frac{9}{2}$-2）=$\frac{15}{4}$，
可得f（x）在x=$\frac{3}{2}$處的切線方程為y=$\frac{15}{4}$x-$\frac{9}{2}$．
由x³-x²≥$\frac{15}{4}$x-$\frac{9}{2}$?（x-$\frac{3}{2}$）²（x+2）≥0，
當x=$\frac{3}{2}$時，取得等號．
則x³+y³-x²-y²=（x³-x²）+（y³-y²）≥$\frac{15}{4}$x-$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{4}$y≥$\frac{9}{8}$-$\frac{1}{8}$=1．
當且僅當x=$\frac{3}{2}$，y=$\frac{1}{2}$時，取得最小值1．
故答案為：1．

點評 本題考查最值的求法，注意運用變形和導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．