Question

16．已知函數(shù)f（x）=（2x²-x-1）e^x，則方程${[{ef（x）}]^2}+tf（x）-9\sqrt{e}=0$（t∈R）的根的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． 5
• D． 4

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的大致圖象，分析關(guān)于f（x）這一整體的二次方程根的情況，依據(jù)根的情況分類討論．

解答 解：∵f′（x）=（2x-1）（x+2）e^x，
且f（-2）=$\frac{9}{{e}^{2}}$，f（$\frac{1}{2}$）=-$\sqrt{e}$，
f（x）的大致圖象如圖，

令t=f（x），
設(shè)方程${[{ef（x）}]^2}+tf（x）-9\sqrt{e}=0$的兩根為m₁，m₂，
則m₁m₂=-$\frac{9\sqrt{e}}{{e}^{2}}$=f（-2）f（$\frac{1}{2}$），
若m₁=$\frac{9}{{e}^{2}}$，m₂=-$\sqrt{e}$，有三根；
若0＜m₁＜$\frac{9}{{e}^{2}}$有三根，此時(shí)m₂＜-$\sqrt{e}$無(wú)根，也有三根，
當(dāng)m₁＞$\frac{9}{{e}^{2}}$有1根，此時(shí)-$\sqrt{e}$＜m₂＜0有兩根，也有三根，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查利用導(dǎo)函數(shù)分析出的單調(diào)性、極值作簡(jiǎn)圖，考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題．利用換元法簡(jiǎn)化方程，考查數(shù)形結(jié)合．作圖、分析根個(gè)數(shù)，難度較大，屬于難題