Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²+cosx，對于[$-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]上的任意x₁，x₂，有如下條件：①x₁＞x₂；②x₁＜x₂；③|x₁|＞x₂；④x₁²＞x₂²．其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的序號是（　　）

• A． ①④
• B． ②③
• C． ③
• D． ④

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)可以判定其單調(diào)性，再判斷出奇偶性，即可判斷出結(jié)論．

解答 解：∵f′（x）=2x-sinx，f″（x）=2-cosx＞0，
f′（x）在[$-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]上遞增，f′（-$\frac{π}{2}$）＜0，f′（$\frac{π}{2}$）＞0，
∴當(dāng)x=0時，f′（0）=0；
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，0）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$]時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在x=0時取得最小值，f（0）=0+1=1，
∵?x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，都有f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)，
根據(jù)以上結(jié)論可得：
①當(dāng)x₁＞x₂時，則f（x₁）＞f（x₂）不成立；
②當(dāng)x₁＜x₂|時，則f（x₁）＞f（x₂）不成立；
③當(dāng)|x₁|＞x₂時，則f（x₁）=f（|x₁|）＞f（x₂）不恒成立；
④當(dāng)x₁²＞x₂²時，得|x₁|＞|x₂|，
則f（|x₁|）＞f（|x₂|）?f（x₁）＞f（x₂）恒成立；
綜上可知：能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的有④．
故選：D．

點(diǎn)評 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、判定函數(shù)的奇偶性等是解題的關(guān)鍵．