Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，，其中且．為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極小值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，且，試證明：

；

（Ⅲ）是否存在負(fù)數(shù)，對(duì)，，都有成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（Ⅰ）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；；（Ⅱ）見(jiàn)解析；（Ⅲ）存在

【解析】

試題分析：（Ⅰ）直接利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)區(qū)間和極小值；（Ⅱ）函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，表示極大值g（0）大于零而極小值g（）小于零，得到m的范圍，進(jìn)而得到g（－1）和g（e）的范圍，由此得出a，b，c滿足的不等關(guān)系；（Ⅲ）由題意，，而，，∴，解出m的范圍即可.

試題解析：（Ⅰ）（且）．

∴由，得；由，得，且． 1分

∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是． 2分

∴. 1分

（Ⅱ）．

∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．

∵函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)．

∴．

∴ 3分

由．

∴． 1分

綜上可知，，

結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及可得：．

即，得證． 1分

（Ⅲ）由題意，只需

∵

由，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

∴． 2分

∵

由，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．

∴． 2分

∴ ，不等式兩邊同乘以負(fù)數(shù)，得．

∴，即．

由，解得．

綜上所述，存在這樣的負(fù)數(shù)滿足題意． 1分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，極值，范圍問(wèn)題，恒成立問(wèn)題