Question

19．在△ABC中，sinA+$\sqrt{3}$cosA=2．
（Ⅰ）求A的大��；
（Ⅱ）若a=2； B=45°；求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知可得sin（A+$\frac{π}{3}$）=1，解得A=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，結(jié)合范圍A∈（0，π），即可得解A的值．
（Ⅱ）利用三角形內(nèi)角和定理可求C的值，利用正弦定理可求b的值，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵sinA+$\sqrt{3}$cosA=2，可得：2sin（A+$\frac{π}{3}$）=2，
∴sin（A+$\frac{π}{3}$）=1，可得：A+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：A=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）∵a=2； B=$\frac{π}{4}$，A=$\frac{π}{6}$，可得：C=π-A-B=$\frac{7π}{12}$
∴b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$×sin$\frac{7π}{12}$=1+$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．