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已知函數f(x)=ax3-
32
(a+2)x2+6x-3

(1)當a>2時,求函數f(x)的極小值;
(2)試討論曲線y=f(x)與x軸的公共點的個數.
分析:(1)求出f(x)的導函數為0時x的值,利用x的范圍討論導函數的正負來研究函數的增減性得到函數的極小值即可;
(2)分情況當a=0得到f(x)與x軸只有一個交點;當a<0時,討論函數的增減性得到函數的極值即可得到與x軸的交點;當0<a<2時討論函數的增減性得到與x軸只有一個交點;當a>2時,由(1)得到函數的極大值小于0,得到與x軸有一個交點.
解答:解:(1)f′(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3a(x-
2
a
)(x-1)

∵a>2,∴
2
a
<1

∴當x<
2
a
或x>1時,f'(x)>0;
2
a
<x<1
時,f'(x)<0
∴f(x)在(-∞,
2
a
)
,(1,+∞)內單調遞增,在(
2
a
,1)
內單調遞減
故f(x)的極小值為f(1)=-
a
2

(2)①若a=0,則f(x)=-3(x-1)2
∴f(x)的圖象與x軸只有一個交點.
②若a<0,則
2
a
<1
,
∴當x<
2
a
或x>1
時,f'(x)<0,
2
a
<x<1
時,f'(x)>0
∴f(x)的極大值為f(1)=-
a
2
>0

∵f(x)的極小值為f(
2
a
)<0

∴f(x)的圖象與x軸有三個公共點.
③若0<a<2,則
2
a
>1

∴當x<1或x>
2
a
時,f'(x)>0,
2
a
<x<1
時,f'(x)<0
∴f(x)的圖象與x軸只有一個交點
④若a=2,則f'(x)=6(x-1)2≥0
∴f(x)的圖象與x軸只有一個交點
⑤當a>2,由(1)知f(x)的極大值為f(
2
a
)=-4(
1
a
-
3
4
)2-
3
4
<0
,函數圖象與x軸只有一個交點.
綜上所述,若a≥0,f(x)的圖象與x軸只有一個公共點;
若a<0,f(x)的圖象與x軸有三個公共點.
點評:考查學生利用導數研究函數極值的能力,利用分類討論的數學思想來解決數學問題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實數f(x)總是為增函數;
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數;
(3)當f(x)為奇函數時,求f(x)的值域.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經過點Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標系中畫出函數f(x)的大致圖象;
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(3)設q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數q(t)的單調遞增區(qū)間.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數,則a=( 。
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數f(x)的單調區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實數a的值;
(III)設g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數的底數)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數,求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調性的情況,并證明你的結論.

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