12.對于△ABC,有如下命題:
①若$\frac{tanA}{tanB}=\frac{a^2}{b^2}$,則△ABC一定為等腰三角形;
②若$\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}=\frac{b^2}{a^2}$,則△ABC一定為等腰三角形;
③若sin2A+cos2B=1,則△ABC一定為等腰三角形;
④若sin2A+sin2B+cos2C<1,則△ABC一定為鈍角三角形
其中錯誤命題的序號是①②.

分析 ①利用正弦定理化簡求得sin2A=sin2B,可得A=B或A+B=$\frac{π}{2}$,△ABC為等腰三角形或直角三角形;
②利用正弦定理化簡sin2A=sin2B,△ABC為等腰三角形或直角三角形;
③利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,求得A=B,故正確;
④利用正弦定理化簡,根據(jù)余弦定理進行判斷cosC<0,C為鈍角,則△ABC一定為鈍角三角形.

解答 解:由①$\frac{tanA}{tanB}=\frac{a^2}{b^2}$,即b2tanA=a2tanB,
由正弦定理可知:a=2RsinA,b=2RsinB,則sin2B×$\frac{sinA}{cosA}$=sin2A×$\frac{sinB}{cosB}$,即sinAcosA=sinBcosB,
則sin2A=sin2B,則A=B,或2(A+B)=π,
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形,故①錯誤;
對于②由余弦定理可知:$\frac{2bccosA}{2accosB}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$,整理得2sinAcosA=2sinBcosB,
則sin2A=sin2B,則A=B,或2(A+B)=π,
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形,故②錯誤;
對于③sin2A+cos2B=1,得sin2A=sin2B,
∴A=B,
△ABC一定為等腰三角形,故③成立;
④由sin2A+sin2B+cos2C<1可得sin2A+sin2B<sin2C,
由正弦定理可得a2+b2<c2,
再由余弦定理可得cosC<0,C為鈍角,故④正確;
故答案為:①②.

點評 本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用,考查同角三角形的基本關(guān)系,二倍角公式,考查計算能力,屬于中檔題.

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