Question

如圖，多面體ABCDS中，底面ABCD為矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD，SD=AD，

（1）求證：平面SDB⊥平面ABCD；

（2）求二面角A―SB―D的大小.

Answer 1

解：（1）∵SD⊥AD，SD⊥AB，AD∩AB=A

∴SD⊥平面ABCD，

又∵SD平面SBD，  ∴平面SDB⊥平面ABCD。 

（2）[解法一]：由（1）知平面SDB⊥平面ABCD，

BD為平面SDB與平面ABCD的交線，過點A作AE⊥DB于E，則AE⊥平面SDB，

又過點A作AF⊥SB于F，連結(jié)EF。

由三垂線定理的逆定理得 EF⊥SB，

∴∠AFE為二面角A―SB―D的平面角。 

在矩形ABCD中，設(shè)AD=a，

則，

在Rt△SBC中，

而在Rt△SAD中，SA=2a，又AB=2a，

∴SB²=SA²+AB²，

即△SAB為等腰直角三角形，且∠SAB為直角，

∴

∴

故二面角A―SB―D的大小為   

[解法二]：由題可知DS、DA、DC兩兩互相垂直。

如圖建立空間直角坐標(biāo)系D―xyz

設(shè)AD=a，

則S（

∵

設(shè)面SBD的一個法向量為n=（x，y，－1）

則

解得 n=（0，2，－1） 

又∵

設(shè)面SAB的一個法向量為m=（1，y，z），

則

解出 m=（1，，0）， 

故所求的二面角為arccos。