Question

橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，離心率為

1

2

．點P（1，

3

2

）、A、B在橢圓E上，且

PA

+

PB

=m

OP

（m∈R）
（Ⅰ）求橢圓E的方程．
（Ⅱ）當(dāng)m=-3時，求△PAB的重心坐標(biāo)．
（Ⅲ）證明直線AB的斜率為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程，利用橢圓的離心率為

1

2

，點P（1，

3

2

）在橢圓E上，建立方程求得幾何量，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)A、B的坐標(biāo)，由

PA

+

PB

=m

OP

得坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求得△PAB的重心坐標(biāo)；
（Ⅲ）利用點差法，結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)論，即可得到結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵橢圓的離心率為

1

2

，點P（1，

3

2

）在橢圓E上，
∴e²=1-

b2

a2

=

1

4

及

1

a2

+

9

4b2

=1
∴a²=4，b²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

PA

+

PB

=m

OP

得（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，

3

2

），即

x1+x2=2+m y1+y2=3+ 3 2 m

∵點P（1，

3

2

），），m=-3，于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+

3

2

=3+

3

2

m+

3

2

=0，
因此△PAB的重心坐標(biāo)為（0，0），即原點是△PAB的重心；
（Ⅲ）證明：∵

x12

4

+

y12

3

=1，

x22

4

+

y22

3

=1
∴兩式相減得k_AB=

y2-y1

x2-x1

=-

3

4

×

x1+x2

y1+y2

=-

3

4

×

2+m

3+ 3 2 m

=-

1

2

，即直線AB的斜率為定值，定值為-

1

2

．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運用，考查點差法求直線的斜率，正確運用橢圓方程是關(guān)鍵．