橢圓E的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,離心率為
1
2
.點P(1,
3
2
)、A、B在橢圓E上,且
PA
+
PB
=m
OP
(m∈R)
(Ⅰ)求橢圓E的方程.
(Ⅱ)當(dāng)m=-3時,求△PAB的重心坐標(biāo).
(Ⅲ)證明直線AB的斜率為定值,并求出這個定值.
分析:(Ⅰ)設(shè)橢圓方程,利用橢圓的離心率為
1
2
,點P(1,
3
2
)在橢圓E上,建立方程求得幾何量,即可求得橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)A、B的坐標(biāo),由
PA
+
PB
=m
OP
得坐標(biāo)之間的關(guān)系,即可求得△PAB的重心坐標(biāo);
(Ⅲ)利用點差法,結(jié)合(Ⅱ)的結(jié)論,即可得到結(jié)論.
解答:(Ⅰ)解:設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
∵橢圓的離心率為
1
2
,點P(1,
3
2
)在橢圓E上,
∴e2=1-
b2
a2
=
1
4
1
a2
+
9
4b2
=1
∴a2=4,b2=3,
∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1;
(Ⅱ)解:設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),由
PA
+
PB
=m
OP

得(x1+x2-2,y1+y2-3)=m(1,
3
2
),即
x1+x2=2+m
y1+y2=3+
3
2
m

∵點P(1,
3
2
),),m=-3,于是x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+
3
2
=3+
3
2
m
+
3
2
=0,
因此△PAB的重心坐標(biāo)為(0,0),即原點是△PAB的重心;
(Ⅲ)證明:∵
x12
4
+
y12
3
=1,
x22
4
+
y22
3
=1
∴兩式相減得kAB=
y2-y1
x2-x1
=-
3
4
×
x1+x2
y1+y2
=-
3
4
×
2+m
3+
3
2
m
=-
1
2
,即直線AB的斜率為定值,定值為-
1
2
點評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查向量知識的運用,考查點差法求直線的斜率,正確運用橢圓方程是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O,焦點在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
3
2
)
三點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過定點F(-
3
,0)
作直線l與橢圓E交于M、N兩點,求△OMN的面積S的最大值及此時直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點,焦點在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
32
)
三點.
(1)求橢圓E的方程:
(2)若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點,F(xiàn)(-1,0),H(1,0),當(dāng)△DFH內(nèi)切圓的面積最大時.求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,且經(jīng)過A(-2,0),B(1,
32
)
兩點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若橢圓E的左、右焦點分別是F、H,過點H的直線l:x=my+1與橢圓E交于M、N兩點,則△FMN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值及直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•閔行區(qū)二模)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O,焦點在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過M(2,1),N(2
2
,0)
兩點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b(b<0),直線l交橢圓E于兩個不同點A、B,直線MA與MB的斜率分別為k1、k2,求證:k1+k2=0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2007•廣州二模)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點,焦點在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過A(-2,0)、B(2,0)、C(1,
32
)
三點.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=k(x-1)(k≠0)與橢圓E交于M、N兩點,證明直線AM與直線BN的交點在直線x=4上.

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