Question

設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+（x-1）²，（a∈R）．
（1）若a=-4，求f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，試求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）的極值點．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=-4代入，先求定義域，在求導(dǎo)數(shù)，令f′（x）＞0，f′（x）＜0，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到函數(shù)的最小值．
（2）先求導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化成f′（x）≤0在[

1

2

，2]上恒成立，利用參數(shù)分離法即可求出a的范圍．
（3）對參數(shù)a分類討論，求導(dǎo)函數(shù)，由f′（x）＞0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；由f′（x）＜0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，從而可求函數(shù)的極值；．

解答：解：由于函數(shù)f（x）=alnx+（x-1）²，（a∈R）．
則f′(x)=

a

x

+2(x-1)=

2x2-2x+a

x

，(x＞0)
（1）由于a=-4，則f′(x)=

2x2-2x-4

x

=

2(x+1)(x-2)

x

令f′（x）＞0，則x＞2，
故函數(shù)f（x）在（0，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增
故f（x）的最小值為f（2）=1-4ln2
（2）由于函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，
則2x²-2x+a≤0亦即a≤-2x²+2x在[

1

2

，2]上恒成立
故y=-2x²+2x在[

1

2

，2]上遞減，且最小值為

1

2

故實數(shù)a的取值范圍是：a≤

1

2

（3）當(dāng)△=2²-4×2×a≤0，即a≥

1

2

時，f′(x)=

2x2-2x+a

x

，(x＞0)恒大于等于0，
故此時函數(shù)無極值．
當(dāng)0＜a＜

1

2

時，令f′(x)=

2x2-2x+a

x

＞0，(x＞0)，則0＜x＜

1- 1-2a

2

或x＞

1+ 1-2a

2

，
故此時函數(shù)在x=

1- 1-2a

2

處取得極大值，在x=

1+ 1-2a

2

處取得極小值．
當(dāng)a≤0時，令f′(x)=

2x2-2x+a

x

＞0，(x＞0)，則x＞

1+ 1-2a

2

，
故此時函數(shù)無極大值，在x=

1+ 1-2a

2

處取得極小值．
綜上，當(dāng)a≥

1

2

時，函數(shù)無極值；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時，函數(shù)在x=

1- 1-2a

2

處取得極大值，在x=

1+ 1-2a

2

處取得極小值；
當(dāng)a≤0時，函數(shù)無極大值，在x=

1+ 1-2a

2

處取得極小值．

點評：本題考查了函數(shù)在某點取得極值的條件、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，由f′（x）＞0（＜0）得函數(shù)的單調(diào)增（減）區(qū)間，而在解不等式f′（x）＞0（＜0）時，如果含有參數(shù)時，要注意對參數(shù)分類討論．