Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=CC₁，M、N分別為BB₁、A₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CB₁⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）求證：MN∥平面ABC₁．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)，利用面面垂直性質(zhì)定理證出AB⊥平面BB₁C₁，得出AB⊥CB₁．正方形BCC₁B₁中，對(duì)角線(xiàn)CB₁⊥BC₁，由線(xiàn)面垂直的判定定理可證出CB₁⊥平面ABC₁；
（II）取AC₁的中點(diǎn)F，連BF、NF，利用三角形中位線(xiàn)定理和平行四邊形的性質(zhì)，證出EF∥BM且EF=BM，從而得到BMNF是平行四邊形，可得MN∥BF，結(jié)合線(xiàn)面平行判定定理即可證出MN∥面ABC₁．

解答：解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
側(cè)面BB₁C₁C⊥底面ABC，且側(cè)面BB₁C₁C∩底面ABC=BC，
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∴AB⊥平面BB₁C₁   　　　　　　 　　…（2分）
∵CB₁?平面BB₁C₁C，∴AB⊥CB₁．…（4分）
∵BC=CC₁，CC₁⊥BC，∴BCC₁B₁是正方形，
∴CB₁⊥BC₁，
∵AB∩BC₁=B，∴CB₁⊥平面ABC₁．
（Ⅱ）取AC₁的中點(diǎn)F，連BF、NF．…（7分）
在△AA₁C₁中，N、F是中點(diǎn)，
∴NF

∥

.

1

2

AA₁，
又∵正方形BCC₁B₁中BM

∥

.

1

2

AA₁，
∴EF∥BM，且EF=BM…（8分）
故四邊形BMNF是平行四邊形，可得MN∥BF，…（10分）
∵BF?面ABC₁，MN?平面ABC₁，
∴MN∥面ABC₁…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出底面為直角三角形的直三棱柱，在已知側(cè)棱與底面直角邊長(zhǎng)相等的情況下證明線(xiàn)面垂直．著重考查了空間直線(xiàn)與平面平行、垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．