Question

在邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是DD1的中點(diǎn)，

求點(diǎn)A到平面A1DE的距離；

求證：CF∥平面A1DE,

求二面角E－A1D－A的平面角大小的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）.

【解析】利用向量法解決立體幾何問(wèn)題，要先建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出對(duì)應(yīng)的向量.（1）說(shuō)出建立坐標(biāo)系的過(guò)程，寫(xiě)出需要的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)平面A1DE的法向量是利用  可得根據(jù)點(diǎn)A到平面A1DE的距離是

求得.（2）要證線面平行，可證直線對(duì)應(yīng)的向量與面的法向量垂直.結(jié)合（1）容易證出；（3）依題意得是面AA1D的法向量，由（1）得是平面A1DE的法向量，根據(jù)可求出二面角E－A1D－A的平面角大小的余弦值.

解：（1）分別以DA,DC,DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2,0,0）, A1（2,0,2）,E(1,2,0),

D(0,0,0), C(0,2,0), F(0,0,1), 則

設(shè)平面A1DE的法向量是

則，

取

點(diǎn)A到平面A1DE的距離是

.

（2）,

,

所以，CF∥平面A1DE.

（3）是面AA1D的法向量，

.