Question

已知集合M是滿足下列條件的函數(shù)f（x）的全體：
（1）f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；（2）函數(shù)f（x）有零點(diǎn)．那么在函數(shù)
①f（x）=|x|-1，②f（x）=2^x-1，③f(x)=

x-2，x＞0 0，x=0 x+2，x＜0

④f（x）=x²-x-1+lnx中，
屬于M的有

 

．（寫出所有符合的函數(shù)序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：首先，集合M的元素滿足兩個(gè)條件，然后，結(jié)合給定的具體函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答： 解：對(duì)于①函數(shù)f（x）=|x|-1，
∵f（-x）=|-x|-1=|x|-1=f（x），
∴函數(shù)f（x）=|x|-1為偶函數(shù)，
令f（x）=|x|-1=0，
解得|x|=1，即x=±1，
函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴函數(shù)f（x）=|x|-1不符合條件（1），①f（x）=|x|-1不是集合M的元素；
對(duì)于②：函數(shù)f（x）=2^x-1，
∵f（-x）=2^-x-1≠±f（x），
∴函數(shù)f（x）=2^x-1，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，
令函數(shù)f（x）=2^x-1=0，
解得x=0，
∴函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，
∴函數(shù)f（x）=2^x-1，符合給定的兩個(gè)條件，即它是集合M中的元素；
對(duì)于③：當(dāng)x＞0時(shí)，則-x＜0，f（-x）=-x+2=-（x-2）=-f（x），
當(dāng)x＜0時(shí)，則-x＞0，f（-x）=-x-2=-（x+2）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，不符合給定的條件；
對(duì)于④：因?yàn)樵摵瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），它不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴該函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，
令函數(shù)f（x）=x²-x-1+lnx=0，
即x²-x-1=-lnx，
根據(jù)x²-x-1=(x-

1

2

)2-

5

4

＞-1，
∵-lnx∈R，
∴函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，
∴函數(shù)f（x），符合給定的兩個(gè)條件，它是集合M中的元素；
故答案為②④．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，理解函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)的奇偶性是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．