Question

在平面直角坐標系xoy中，F(xiàn)是拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點，圓Q過O點與F點，且圓心Q到拋物線C的準線的距離為

3

2

．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過F作傾斜角為60°的直線L，交曲線C于A，B兩點，求△AOB的面積；
（3）已知拋物線上一點M（4，4），過點M作拋物線的兩條弦MD和ME，且MD⊥ME，判斷：直線DE是否過定點？說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由圓Q過O點與F點，可得圓心Q在線段OF的垂直平分線x=

p

4

上，結合準線方程，求出p，即可求拋物線C的方程；
（2）過F傾斜角為60°的直線L：y=

3

（x-1），代入拋物線方程，結合韋達定理，即可求△AOB的面積；
（3）設直線DE：x=my+t，代入拋物線方程，消去x，利用MD⊥ME，結合向量的數(shù)量積公式，即可得出結論．

解答： 解：（1）∵F(

p

2

，0)，
∴圓心Q在線段OF的垂直平分線x=

p

4

上，
又∵準線方程為：x=-

p

2

，
∴

p

4

-(-

p

2

)=

3

2

，得p=2，
∴拋物線C：y²=4x；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過F傾斜角為60°的直線L：y=

3

（x-1）．

y2=4x y= 3 (x-1)

得：y2-

4

3

3

y-4=0，
∴y1+y2=

4

3

3

  ，  y1y2=-4，
∴S△=

1

2

×|OF|×|y2-y1|=

1

2

×1×

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

•

16 3 +16

=

4

3

3

（3）設直線DE：x=my+t，代入拋物線方程，消去x可得y²-4my-4t=0，則△=16m²+16t＞0（*）
設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t．
∵0=

MD

•

ME

=(x1-4，y1-4)•(x2-4，y2-4)=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16+y₁y₂-4（y₁+y₂）+16
=

y12

4

•

y22

4

-4(

y12

4

+

y22

4

)+16+y1y2-4(y1+y2)+16=

(y1y2)2

16

-(y1+y2)2+3y1y2-4(y1+y2)+32
=t²-16m²-12t+32-16m，
∴t²-12t+32=16m²+16m，得：（t-6）²=4（2m+1）²，
∴t-6=±2（2m+1）即：t=4m+8或t=-4m+4
代入（*）式檢驗均滿足△＞0，∴直線DE的方程為：x=my+4m+8=m（y+4）+8或：x=m（y-4）+4，
∴直線過定點（8，-4）．（定點（4，4）不滿足題意，故舍去）

點評：本題考查拋物線的方程，考查準線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確運用韋達定理是關鍵．