Question

2．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）＞0，f（x）•f（y）=f（x+y），且f（1）=$\frac{1}{2}$，當x∈（0，+∞）時f（x）＜1，關于x的不等式f（a）•f（-2-xe^x）-4＞0（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 利用定義判斷函數(shù)的單調性，根據(jù)函數(shù)的單調性把恒成立問題轉化為求函數(shù)最值問題解決．

解答 解：對于?x₁＞x₂，
f（x₁）-f（x₂）=f（x₂+x₁-x₂）-f（x₂）
=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]，
又x₁-x₂＞0，所以f（x₁-x₂）＜1，從而f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以f（x）在R上單調遞減．
f（0）•f（0）=f（0+0）得f（0）=1或0（舍），f（-1）•f（1）=f（-1+1）得f（-1）=2，從而f（-2）=4，所以原不等式f（a）•f（-2-xe^x）-4＞0
等價于f（a-2-xe^x）＞f（-2）
所以a-2-xe^x＜-2即a＜xe^x恒成立，
令t=xe^x，t'=e^x（1+x），
當x＞-1時，函數(shù)遞增，當x＜-1時，函數(shù)遞減，
所以當x=1時，函數(shù)取最小值為-$\frac{1}{e}$，
所以a＜-$\frac{1}{e}$．
故答案為（-∞，-$\frac{1}{e}$）．

點評 考查了抽象函數(shù)的單調性判斷和恒成立問題的轉化．