Question

12．已知函數(shù)f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間和對稱中心坐標；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m個單位，使函數(shù)關(guān)于點（$\frac{π}{3}$，0）對稱，求m的最小正值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的圖象的對稱性，求得f（x）的單調(diào)增區(qū)間和對稱中心坐標．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得所得圖象對應的解析式，再根據(jù)它的圖象的對稱性，求得m的最小正值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1=-cos（$\frac{π}{2}$+2x）-$\sqrt{3}$cos2x
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，
可得函數(shù)的圖象的對稱中心為（2kπ+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移m個單位，
可得=2sin[2（x-m）-$\frac{π}{3}$]=2sin（2x-2m-$\frac{π}{3}$）的圖象，
再根據(jù)所得圖象關(guān)于點（$\frac{π}{3}$，0）對稱，
可得2•$\frac{π}{3}$-2m-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$-2m=nπ，n∈Z，
即m=$\frac{π}{6}$-$\frac{n}{2}$π，故m的最小正值為$\frac{π}{6}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及它的圖象的對稱性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．