Question

【題目】已知過點(diǎn)的曲線的方程為．

（Ⅰ）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:

（Ⅱ）已知點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過作的垂線交曲線于點(diǎn)，．

（�。┳C明：平分線段（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（ⅱ）求最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）見解析（ⅱ）1

【解析】

(I)由題意把點(diǎn)代入方程可得的值，利用橢圓的定義可求出曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)(i)先設(shè)，，的中點(diǎn)，和直線的方程為和直線的方程為，聯(lián)解橢圓方程可得到的坐標(biāo)，證明即三點(diǎn)共線，即證明出平分線段；

(ii)利用兩點(diǎn)間距離公式和橢圓弦長(zhǎng)公式分別求出，利用基本不等式求最值.

解：（Ⅰ）將代入曲線的方程，

即，

解得；

由橢圓定義可知曲線的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓，

即，，

所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）（�。┰O(shè)，，的中點(diǎn)

設(shè)的方程為，

則的方程為，

所以．

將直線與橢圓的方程聯(lián)立，

得．

則，，

，

，

，

平分線段．

（ⅱ），

，令，即，

令，

則，

在上為增函數(shù)，

即，

（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號(hào)）

的最大值為1．