Question

若點G為△ABC的重心（三角形三邊上中線的交點）且AG⊥BG，則cos（A+B）的最大值為

-

4

5

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，由AD⊥BE，得到△ABG，△BDG，△EDG，△AGE都為直角三角形，設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，根據(jù)D、E分別為BC、AC的中點，分別表示出BC，AE，DE，利用勾股定理列出四個關(guān)系式，變形后得到c²=

1

5

（a²+b²），利用余弦定理表示出cosC，將關(guān)系式代入并利用基本不等式求出cosC的最小值，即可確定出cos（A+B）的最大值．

解答：解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，
∵AD⊥BE，∴△ABG，△BDG，△EDG，△AGE都為直角三角形，
設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，
∵D、E分別為BC、AC的中點，
∴BC=

1

2

a，AE=

1

2

b，DE=

1

2

c，
根據(jù)勾股定理得：AG²+BG²=c²①，GD²+GE²=

1

4

c²②，
AG²+GE²=

1

4

b²③，BG²+DG²=

1

4

a²④，
（①+②）-（③+④）得：

5

4

c²=

1

4

（a²+b²），即c²=

1

5

（a²+b²），
在△ABC中，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

2

5

•

a2+b2

ab

≥

4

5

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，cosC最小值為

4

5

，
∵cos（A+B）=-cosC，
∴cos（A+B）的最大值為-

4

5

．
故答案為：-

4

5

點評：此題考查了勾股定理，余弦定理，基本不等式的運用，三角形的重心，以及誘導(dǎo)公式，熟練掌握重心的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．