Question

若點G為△ABC的重心，且AG⊥BG，則sinC的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立直角坐標系，設AB=2，點C的坐標為（x，y），可得G（，）．根據(jù)AG⊥BG建立x、y的關系式，化簡整理得x²+y²=9，得到點C在以原點為圓心，半徑為3的圓上運動（x軸上兩點除外）．運動點C并加以觀察可得當C點在y軸時，∠C達到最大值，且sinC同時達到最大值，由此結合三角函數(shù)公式即可算出sinC的最大值．
解答：解：設AB中點為O，連接AO，可得重心G在CO上且=
以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立如圖所示直角坐標系
設AB=2，則A（-1，0），B（1，0），
設C（x，y），可得G（，）
∵AG⊥BG，∴點G在以AB為直徑的圓上運動（A、B兩點除外）
由此可得（）²+（）²=1，整理得x²+y²=9
因此，點C在以原點為圓心，半徑為3的圓上運動（x軸上兩點除外）
在點C的運動中觀察∠C的變化，可得當C點在y軸時，∠C達到最大值
而且sinC同時達到最大值．
此時tan=，可得sinC==
故選：
點評：本題給出三角形的重心G對A、B的張角為直角，求角C的正弦最大值，著重考查了三角形重心的性質、圓的標準方程和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．