Question

若點(diǎn)G為△ABC的重心，且AG⊥BG，則sinC的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），可得G（，）．根據(jù)AG⊥BG建立x、y的關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理得x²+y²=9，得到點(diǎn)C在以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓上運(yùn)動(dòng)（x軸上兩點(diǎn)除外）．運(yùn)動(dòng)點(diǎn)C并加以觀察可得當(dāng)C點(diǎn)在y軸時(shí)，∠C達(dá)到最大值，且sinC同時(shí)達(dá)到最大值，由此結(jié)合三角函數(shù)公式即可算出sinC的最大值．
解答：解：設(shè)AB中點(diǎn)為O，連接AO，可得重心G在CO上且=
以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系
設(shè)AB=2，則A（-1，0），B（1，0），
設(shè)C（x，y），可得G（，）
∵AG⊥BG，∴點(diǎn)G在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)（A、B兩點(diǎn)除外）
由此可得（）²+（）²=1，整理得x²+y²=9
因此，點(diǎn)C在以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓上運(yùn)動(dòng)（x軸上兩點(diǎn)除外）
在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)中觀察∠C的變化，可得當(dāng)C點(diǎn)在y軸時(shí)，∠C達(dá)到最大值
而且sinC同時(shí)達(dá)到最大值．
此時(shí)tan=，可得sinC==
故選：
點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的重心G對(duì)A、B的張角為直角，求角C的正弦最大值，著重考查了三角形重心的性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和三角恒等變換等知識(shí)，屬于中檔題．