如圖,在直角梯形ABCD中,AD//BC,,當(dāng)E、F分別在線段AD、BC上,且
,AD=4,CB=6,AE=2,現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折疊,使平面ABFE與平面EFCD垂直。
1.判斷直線AD與BC是否共面,并證明你的結(jié)論;
2.當(dāng)直線AC與平面EFCD所成角為多少時,二面角A—DC—E的大小是60°。
解:
1. 、
是異面直線,
(1分)
法一(反證法)假設(shè)、
共面為
.
,
,
,
,
.
,又
.
這與為梯形矛盾.故假設(shè)不成立.
即、
是異面直線. (5分)
法二:在取一點M,使
,又
,
是平行四邊形.
,
則確定平面
,
與
是異面直線.
2.法一:延長,相交于N,AE=2,AD=4,BC=6,
設(shè)
則△NDE中,,
,平面
平面
,
平面
.
過E作于H,連結(jié)AH,
則.
是二面角
的平面角,
則. (8分)
,
,
,
此時在△EFC中,
. (10分)
又平面
,
是直線
與平面
所成的角,
. (12分)
即當(dāng)直線與平面
所成角為
時,
二面角的大小為
。
法二:,面
面
平面
.
又.
故可以以E為原點,為x軸,
為
軸,
為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
可求設(shè)
.
則,
,
得平面的法向量
,
則有,
可取.
平面的法向量
.
.(8分)
此時,.
設(shè)與平面
所成角為
,
則.
即當(dāng)直線AC與平面EFCD所成角的大小為時,
二面角的大小為
.(12分)
【解析】略
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