Question

已知f（x）=（

1

ax-1

+

1

2

）•x³（a＞0且a≠1）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）＞0在定義域上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數的定義域及其求法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數成立的條件即可求函數f（x）的定義域；
（2）根據函數奇偶性的定義，即可判斷f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）＞0在定義域上恒成立，建立等價條件，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）要使函數有意義，則a^x-1≠0，即x≠0，∴函數f（x）的定義域為{x|x≠0}．
（2）∵函數f（x）的定義域為{x|x≠0}．
∴定義域關于原點對稱，
則f（x）=（

1

ax-1

+

1

2

）•x³=

ax+1

2(ax-1)

•x3，
∴f（-x）=

a-x+1

2(a-x-1)

•(-x)3=-

1+ax

2(1-ax)

•(-x3)=

ax+1

2(ax-1)

•x3=f（x），
∴f（x）是偶函數；
（3）∵f（x）是偶函數；
∴f（x）＞0在定義域上恒成立，
則只需要當x＞0時，f（x）＞0恒成立即可，
即f（x）=

ax+1

2(ax-1)

•x3＞0即可，
∴a^x-1＞0，
即a^x＞1，
∵x＞0，
∴a＞1，
即求a的取值范圍是a＞1．

點評：本題主要考查函數定義域以及函數奇偶性和單調性的應用，綜合考查函數的性質．